\documentclass[a4paper]{article}%{proc}
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\begin{document}
\title{Impedanzbestimmung einmal anders}
\author{Peter Bertram\\ DJ2ZS}
\maketitle
\begin{abstract}

Das Stehwellenverhältnis wird bestimmt durch die Impedanz des Leiters
und seines Abschlusses, es ist eine Funktion beider Werte.
Sind sie gegeben, dann ist das Stehwellenverhältnis berechenbar.
Umgekehrt müsste man durch Kenntnis vom Stehwellenverhältnis und
Kabelimpedanz auf die des Abschlusses schließen können.
Wie das möglich ist, wird im folgenden beschrieben.
Beim Lösen des numerischen Problems hilft ein Verfahren der Evolution:
durch Mutation wird die Genauigkeit der Lösung immer besser.
Auch wer mit Mathematik auf dem Kriegsfuß steht kann beruhigt weiterlesen.
Die Berechnung erledigt ein PASCAL-Programm, das mit biologischen
Verfahren mathematische Aufgaben löst.

\end{abstract}

\section{Eine Formel und ihre Folgen}
Wohl jeder Funkamateurs besitzt mindestens ein Stehwellenmessgerät.
Die nicht lineare Skaleneinteilung bei der analogen Anzeige gestattet
das Ablesen der Welligkeit oder des
Stehwellenverhältnisses auf der Leitung. Als Abkürzung dient
bei den Funkamateuren $SWR$ oder besser $VSWR$, in der Technik das
kürzere Symbol $s$, das auch hier verwendet wird.
Die Welligkeit $s$ und die Impedanz $Z_0$ des Kables und
Abschluss $Z_A = R_A + iX_A$ - der
Antenne also - hängen so zusammen (man findet die Terme u.a. in \cite{ARRL}):

\begin{equation}
\label{s-Formel1}
s = \frac{1 + |\rho| }{1 - |\rho|}
\end{equation}

mit

\begin{equation}
\label{rho-Formel}
|\rho|  = \sqrt{\frac{(R_A - Z_0)^2+ X_A^2}{(R_A + Z_0)^2 + X_A^2}}
\end{equation}

Das sieht schon wild aus, doch
setzt man \ref{rho-Formel} in \ref{s-Formel1} ein, dann wird es
für manche der Anblick erst recht grauslich.

\begin{equation}
\label{s-Formel2}
s = \frac{1 +\sqrt{\frac{(R_A - R_0)^2+ X_A^2}{(R_A + R_0)^2 + X_A^2}}}
         {1 -\sqrt{\frac{(R_A - R_0)^2+ X_A^2}{(R_A + R_0)^2 + X_A^2}}}
\end{equation}

Aber halt, nicht
schrecken lassen! Mehr als einen Blick zu riskieren brauchen wir nicht.
Es ist schon toll, was so ein einfaches und billiges Messgerät leistet,
die ganze Rechnerei bleibt einem erspart. 

Gehen wir jetzt die Aufgabenstellung an:
$R_A$ und $X_A$ sind unbekannt, $s$ wird gemessen und $Z_0$ (meist 50 Ohm)
ist durch den Kabeltyp bestimmt. Um $R_A$ und $X_A$ zu bestimmen sind
mindestens zwei \em verschiedene\em{} Gleichungen erforderlich.
Wir müssen aus zwei Messungen zwei \em verschiedene\em{} Werte
von $s$ erhalten, allerdings dürfen wir die Impedanz $Z_A$ der
Antenne nicht ändern, denn $R_A$ und $X_A$ wollen wir ja bestimmen.
Was tun? Wir ändern einfach $R_A$ oder $X_A$ \em definiert\em{}
durch die Serienschaltung
eines Widerstandes, eines Kondensators oder einer Spule.
Bei der folgenden Messung erhalten wir einen anderen Wert für $s$.

Beispielsweise ergibt die erste Messung  $s = 2,4$, die zweite Messung
mit einem Serienkondensator $s = 4,6$. Die Kapazität des Kondensators
sei 105 pF, die Frequenz 10 MHz. Somit ergibt sich für den kapazitiven
Widerstand $X_C = 150$ Ohm. Für die Kabelimpedanz gilt ein Wert von
$R_0 = -50$ Ohm. Die Zahlenwerte in Ohm in Formel \ref{s-Formel2} eingesetzt
ergibt dann

\begin{eqnarray}
\label{System}
2,4 &=& \frac{1 +\sqrt{\frac{(R_A - 50)^2+ X_A^2}{(R_A + 50)^2 + X_A^2}}}
         {1 -\sqrt{\frac{(R_A - 50)^2+ X_A^2}{(R_A + 50)^2 + X_A^2}}}\nonumber\\
4,6 &=& \frac{1 +\sqrt{\frac{(R_A - 50)^2+ X_A^2}{(R_A + 50)^2 + (X_A-150)^2}}}
         {1 -\sqrt{\frac{(R_A - 50)^2+ X_A^2}{(R_A + 50)^2 + (X_A-150)^2}}}
\end{eqnarray}

Immerhin zwei Gleichungen mit zwei Variablen, doch schön sieht das alles
nicht aus. \glqq Sehr\grqq{} unlinear\ldots
gerade die, die zur Mathematik eine Affinität pflegen, wissen, warum 
jetzt guter Rat gefragt ist.
Was nun?

\section{Die Lösung: ein evolutionäres Programm!}

Nein, da fehlt wirklich kein \em r\em. Der Name macht schon Sinn,
wie wir bald sehen werden.

Wenn Rechnen nicht hilft, dann hilft vielleicht Raten.
Am besten eine Art intelligentes Raten. Wir raten die beiden
gesuchten Werte, setzen sie in die rechten Seiten der beiden Gleichungen
ein, berechnen die linken Seiten und vergleichen diese mit den Vorgaben.
Dann wissen wir, wie gut unser Tipp war und auf Grund dieser Kenntnis
wählen wir einen neuen und hoffentlich besseren Tipp.
Das machen wir solange, bis wir die linken Seiten des Gleichungssystems
genau genug durch unsere geratenen Werte angenähert werden.

Ganz klar, die Rechnerei soll uns ein elektronischer
Rechenknecht abnehmen. Fehlt nur noch das Programm.
Und eine weitere Kleinigkeit: mit welcher Strategie bestimmt man
jeweils den neuen Tipp?  Wer jetzt gleich zum nächsten Kapitel
geht kann zwar das Programm benutzen, weiß aber nicht, wie es arbeitet.
Das wäre unbefriedigend, oder?


Bei der Strategie hilft uns ein Verfahren, das der Natur abgeguckt wurde
und eine
Vielzahl von Anwendungen findet: \em ein genetischer Algorithmus\em{}!
Damit kann man u.a. Gleichungen lösen die wild aussehen. Genau das, was
wir brauchen!
Der einfachste Algorithmus wird in \cite{Kinnebrock} so zu beschrieben:

\begin{enumerate}
\item Wir wählen ein Anfangschromosom.
\item
\label{Schleife1}
      Dieses wird durch Mutation geändert.
\item Falls dieses besser als als erste ist, ersetze das alte.
\item Solange die Abbruchbedingung nicht erfüllt ist, gehe wieder zu
      \ref{Schleife1}.
\end{enumerate}

Evolution und Darwin lassen grüßen! Alles hört sich sehr biologisch an.
Es ist nicht schwer den allgemeinen Algorithmus unserer Aufgabenstellung
anzupassen:

\begin{enumerate}
\item $R_A$ und $X_A$ werden mit dem Zufallsgenerator bestimmt.
\item
\label{Schleife2}
      Aus der Impedanz $Z_1$ wird eine zweite $Z_2$ bestimmt,
      $R_A$ und $X_A$ zufällig geändert.
\item Jetzt kommt unsere Formel ins Spiel! Sie muss zum Glück nur
      ausgewertet werden. Für beide Impedanzen wird nach
      Formel \ref{s-Formel2}
      $s$ bestimmt. Die Abweichung von der o.a. Werten $2,4$ und $4,6$
      wird berechnet. Falls sich für $Z_2$ eine kleinere Abweichung
      ergibt, wird $Z_1$ durch $Z_2$ ersetzt.
\item Solange die Abweichung von den vorgegebenen $s$-Werten einen 
      bestimmten Wert übersteigt (Abbruchbedingung),
      mache mit \ref{Schleife2} weiter.
\end{enumerate}

Das heisst also, Impedanz $Z_1$ (altes Chromosom) wird solange
zu $Z_2$ geändert (mutiert), bis $Z_2$ bessere Werte aufweist
(Fitness) und wird dann durch seinen besseren Nachfolger ersetzt.
Zur numerischen Auswertung der Fitness bietet sich in unserem Fall
die beiden \em quadrierten\em{} und addierten Differenzen der $s$-Werte an.
Bei der einfachen Addition der Abweichungen können sich die Differenzen
aufheben und eine ideale Fitness vortäuschen. Die beträgt in unserem
Fall Null, größere Werte sind schlechter.

Just dieser Algorithmus wurde in ein einfaches PASCAL-Programm umgesetzt.
Wer es moechte, schreibt an DJ2ZS@LX0PAC, der Quelltext kommt dann.

\section{Messen und Eintippen}
Beim Programmlauf werden \em drei\em{} Werte für $s$ abgefragt. Der erste
für die Antenne alleine, der zweite ergibt sich durch einen zusätzlichen
Serienwiderstand, der dritte durch einen Serienkondensator.
Damit wird das Gleichungssystem \ref{System} um eine Gleichung erweitert.
Die lautet, wenn bei einem Serienwiderstand von 25 Ohm sich $s=2,6$ ergibt:

\begin{equation}
\label{Zusatz}
4,6 = \frac{1 +\sqrt{\frac{(R_A+25-50)^2+ X_A^2}{(R_A+25+50)^2+X_A^2}}}
         {1 -\sqrt{\frac{(R_A+25-50)^2+ X_A^2}{(R_A+25+50)^2+X_A^2}}}
\end{equation}

und kann noch etwas vereinfacht werden.
Warum um Himmelswillen noch eine Gleichung? Zwei bereiteten schon
genug Mühe?
Der höhere Aufwand beim Messen (nur da ist einer vorhanden!)
lohnt sich. Denn $X_A$ geht immer
quadriert in die Gleichung ein, so dass kein Rückschluss auf das
Vorzeichen möglich ist. Mittels der dritten Messung soll uns das aber
auch gelingen, ein Mehr an Eingabeinformation lohnt sich. 

Ein Programmlauf ergab eine Datei mit folgendem Inhalt:
\label{Lauf1}

\begin{verbatim}
Startwert der Impedanz:       67.0    -386.0
     2 Fitness = 2567.103  115 -351  SWR1 = 24.120  SWR2 = 20.709  SWR3 = 46.641
     4 Fitness = 1365.819  138 -320  SWR1 = 17.907  SWR2 = 16.069  SWR3 = 35.324
     5 Fitness = 1064.765   92 -229  SWR1 = 13.711  SWR2 = 11.646  SWR3 = 33.840
     6 Fitness = 592.438  100 -197  SWR1 = 10.163  SWR2 = 8.998  SWR3 = 26.764
     .
     .
     .
    71 Fitness = 0.013   87   46  SWR1 = 2.381  SWR2 = 2.693  SWR3 = 4.663
    73 Fitness = 0.010   86   47  SWR1 = 2.398  SWR2 = 2.698  SWR3 = 4.629
    94 Fitness = 0.009   85   47  SWR1 = 2.390  SWR2 = 2.684  SWR3 = 4.646
\end{verbatim}

Als Impedanz ergibt sich $Z = (85 + 47i)$ Ohm nach 94 Mutationen. In die Datei
werden nur die Chromosomen eingetragen, wenn sich ein besserer Wert ihrer
Fitness ergibt.
Ein zweiter Lauf zeigt dieses Ergebnis:

\begin{verbatim}
Startwert der Impedanz:      481.0    -448.0
     2 Fitness = 564.997  457 -359  SWR1 = 14.822  SWR2 = 15.025  SWR3 = 20.610
     3 Fitness = 425.591  453 -306  SWR1 = 13.229  SWR2 = 13.508  SWR3 = 18.360
     4 Fitness = 228.684  434 -197  SWR1 = 10.488  SWR2 = 10.888  SWR3 = 14.325
     5 Fitness = 164.796  419 -144  SWR1 = 9.383  SWR2 = 9.825  SWR3 = 12.590
     .
     .
     .
   106 Fitness = 0.010   86   47  SWR1 = 2.398  SWR2 = 2.698  SWR3 = 4.629
   117 Fitness = 0.009   85   47  SWR1 = 2.390  SWR2 = 2.684  SWR3 = 4.646
\end{verbatim}

Als Impedanz ergibt sich  wieder $Z = (85 + 47i)$ Ohm nach 117 Mutationen.
Na also, es scheint zu klappen! Etwaige Skeptiker unter uns sollten überzeugt
sein.

\section{Tipps}

Die Ergebnisse des Programms haengen von den Messwerten ab, \em die\em{}
bestimmen letztendlich die Impedanz. Es gilt \glqq Wichtig ist, was vorne
'reinkommt! \grqq. Wenn auch ein Politiker es anders behauptete, gilt:
wenn der Input falsch ist, stimmt auch der Output nicht.
Das ist der Nachteil des Verfahrens, zugegeben. 

Jeder kann und soll sich den Quelltext nach eigenen Vorstellungen abändern.
Einige Hinweise dazu folgen.
Je nach im Programm gesetzter Abbruchbedingung durch die Konstante GRENZGUETE
können sich bei Programmläufen mit gleichen Eingabedaten
kleine Schwankungen bei der Impedanz ergeben. Es ist \em nicht\em{} sinnvoll
mit einem sehr kleinen Wert für GRENZGUETE zu arbeiten. Einmal kann die
Abbruchbedingung in vertretbarer Zeit (einige Sekunden) nicht erreicht werden.
Wenn das
Programm nicht nach einigen tausend Mutationen (dauert ca.zwei Sekunden -
wer schneller
reagiert kann die maximale Laufzeit auf eine Sekunde setzen ) selbst anhält,
erreicht man den Abbruch durch Betätigen der bekanngen Ennikie- Taste.
Wer will kann natürlich auch länger abwarten und dann sehen, ob das lohnte.

Ein Programmlauf lohnt
sich nur, wenn alle eingegeben Werte zueinander passen. Beim Beispiel war das
der Fall.
Wenn wir per Zufall für einige oder alle der abgefragten
Werte Zahlen
eingeben, so wird im Normalfall das Programm nicht von selbst stoppen.
Durch Mutation wird ein Minimum der Fitness zwar erreicht, dieses globale
Minimum ist aber größer als die GRENZGUETE. Pech gehabt, wir warten bis
wir schwarz werden. Das das Gleichungssystem keine Lösung hat, wird auch
keine gefunden.
Noch ein Beispiel zum Testen.
Eine Antennenimpedanz von $Z = (175+150i)$ Ohm ergibt ein
Stehwellenverhältnis von 6,20, mit dem 25-Ohm Widerstand 6,34 und mit
dem Serienkondensator 3,50. Mit Gleichung \ref{s-Formel2}, einem
Taschenrechner lässt sich das ausrechnen. Lassen wir das Programm
mit diesen Werten laufen, dann werden wir nicht enttäuscht, auf $\pm1$ Ohm
genau wird die Impedanz ermittelt. Die gerundeten $s$-Werte und
die Impedanz passen zusammen. 

Überlegen wir uns noch, welche Fehler in die Auswertung eingehen.
Bei den Bauteilen sieht es gut aus.
Induktionsarme Widerstände mit geringen Toleranzen sind leicht verfügbar,
Kondensatoren mit 1\% Toleranz ebenso. Die Werte für $s$ sind leider
mit einer größeren Ungenauigkeit behaftet, die Stehwellenmessgeräte
sind nunmal keine Instrumente mit großer Genauigkeit, das müssen wir
bedenken.
In der Praxis passen durch die Messfehler
die Eingabewerte zwangsläufig nicht so gut zusammen wie in den Beispielen.
Daher wird das Minimum der Fitness immer über eins liegen.


\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ARRL} ARRL.  The ARRL Antenna Book. 19. Auflage.
2000. Newington.
\bibitem{Kinnebrock} W. Kinnebrock. Optimierung mit genetischen und selektiven
Algorithmen. Oldenbourg Verleg. 1994. München.
\end{thebibliography}

\end{document}